Конвекция Рэлея-Бенара

Конвекция Рэлея-Бенара описывается системой уравнений в приближении Буссинеска, состоящее из уравнения Навье-Стокса, уравнения теплопроводности и условия несжимаемости жидкости. Эффект тепловой конвекции проявляется в результате зависимости плотности жидкости или газа ρ от температуры T в объемной силе входящей в уравнение Навь-Стокса (но в конвективном слагаемом плотность считается постоянной).

$ρ_{0} (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v) = - \nabla p + μ Δ v + ρ (T) g$ ,
$\frac{\partial T}{\partial t} + v \nabla T = χ Δ T$ ,
$\nabla v = 0$ ,

где ρ₀ – плотность при температуре T₀, v – скорость, p – давление, μ – коэффициент динамической вязкости, g – ускорение свободного падения, T – отклонение от температуры T₀, χ – коэффициент температуропроводности.

При линейной зависимости плотности от температуры ρ(T) = ρ₀ (1 - β T), где β – коэффициент объемного расширения, подстановкой давления p₁=p-ρ₀gy уравнение Навье-Стокса запишется в виде
$ρ_{0} (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v) = - \nabla p + μ Δ v - ρ_{0} β T g$